前回,複素数の偏角を導入しました.今回は複素数の積と偏角の関係について見ていきましょう. 次の定理から始めましょう.定理１:証明:左辺を展開します. 実部と虚部をまとめると 三角関数の加法定理から となり証明できました.二つの複素数を極形式に表して, …

今回目標にする定理は次のものになります.これは複素数を別の方法で表現することにつながります.二つの実数が与えられたとき,正の実数と角を用いて と書ける.証明:とすれば, が成り立つ.これは二つの実数が単位円状にあることを意味する. よってある角度を用…

前回の記事でを素数,をで割り切れない整数とするとき, が成り立つことを示しました.今回はこの続きです.集合をの平方剰余の集合,を平方非剰余の集合とします.をで割り切れない互いに非合同な任意の整数とします.さらにをとなる剰余の集合, をとなる剰余の集…

を素数とします.次の総和を考えます. として計算してみましょう. で総和はになります.実は次の定理が成り立ちます.おそらく既知のものだとは思いますが,私はこれを自力で発見しました.定理1: 今回はこれを目標にしましょう.これを示すためにまずは次の補題を…

今回の目標は以下の定理になります. 定理1:を素数とし,整数をなるものとする.合同方程式のでない本質的に異なる解の個数はに近く,その誤差はで抑えられる.証明のために以前の記事の記号を用います.ここでおさらいしておきましょう. ガウス和とガウステーブル…

第一回 box-white.hatenablog.com 前回 box-white.hatenablog.com前回の記事では型の素数についての結果をガウス和を用いて解釈しなおしました.今回は型の素数について考察していきます.まずは次の定理を目標にします.定理1:の素数とすると,二つの自然数が存…

第一回 box-white.hatenablog.com 前回 box-white.hatenablog.com今まで3で割って1余る素数についていろいろ見てきました.次は4で割って1余る素数を考察していきたいのですが,3で割って1余る素数のときよりも複雑になることが予想されます.非常に技巧的な式…

第一回 box-white.hatenablog.com 前回 box-white.hatenablog.com前回の内容をおさらいしておきましょう.を3で割って1余る素数とし,をの原始根とする.の0以外の剰余を次の3つのグループに分ける.グループA:の指数が3で割れるもの. グループB:の指数が3で割っ…

第一回 box-white.hatenablog.com 今回の目標は次の定理になります.定理:を3で割って1余る素数とする.このとき整数のうち等式を成立させるものが存在する.例:証明 を3で割って1余る素数とします..による剰余を考えると,そこには原始根が存在します.（原始根…

今回からガウス和とガウステーブルについて書いていきたいと思います.（全六回） 次のような定理を得ることができます. 1.を3で割って1余る素数とする.()をの法に関する絶対最小剰余とすると,量は必ず平方数になる. 2.を3で割って1余る素数とする.このとき整…

問題の確認 今回は整基底を実際に求める方法を書いていきます.なぜこんな記事を書こうと思ったかというと整基底を求める方法が管見の限りインターネットになかったからです.今回は有理数の有限次代数拡大ならいつでも使える方法を紹介します. まずは定義から…

前回の記事でディオファントス方程式 についてに限定して考察しました.今回は一般のについて考えていきましょう. まずが偶数であるときを考察します.とすると となります.左辺は因数分解ができてとなります.にはしか共通因数がありません.そこで可能性として…

1850年M.Lebesgueは次のディオファントス方程式について以下のような結果を得ました. 方程式を満たす整数の組はしか存在しない. 以下でこれについて解説していきます. 証明にはガウス整数(,は整数)が一意分解整域であることを用います.これが正しいことは前…