東京大学の入試問題について

東大の入試に次のような問題が出題されたみたいです.
$5^m + 4^m < 10^{19}$ となるような最小の自然数 $m$ を求めよ.

この問題の解説は別のサイトに譲ることにします.問題を解く途中で $(0.8)^{27}$ を評価する必要が出てきました.この $(0.8)^{27}$ を上から抑える面白い方法を発見したのでここに書いておくことにします.

まず $(0.8)^2 = 0.64$ です. $(0.8)^4$ を計算します.二桁と二桁の掛け算なのでそんなに時間はかかりません.この結果を小数点第三位を繰り上げると上からの評価が得られます.つまり $(0.64)^2 = 0.4096$ なので $(0.8)^4 = (0.64)^2 < 0.41$ となります. $(0.8)^8 < (0.41)^2$ です.ここでも右辺を計算し,小数点第三位を繰り上げると $(0.8)^8 < 0.17$ が得られます.

この調子で計算を続けていきます. $(0.8)^{16} < 0.029$ となります.
$(0.8)^{27} = (0.8)^{16} \cdot (0.8)^8 \cdot (0.8)^2 \cdot (0.8)$
$< 0.029 \cdot 0.17 \cdot 0.64 \cdot (0.8)= 0.0026$ という評価が得られました.右辺の計算も二桁と二桁の掛け算に丸めて行いました.
問題を解くにはこれで十分です.