高さから静かに手を離した球が最も下の点で得られる速度をとすると, 摩擦による熱の発生があるとき 摩擦による熱の発生がないとき

東大の入試に次のような問題が出題されたみたいです. となるような最小の自然数を求めよ.この問題の解説は別のサイトに譲ることにします.問題を解く途中でを評価する必要が出てきました.このを上から抑える面白い方法を発見したのでここに書いておくことにし…

を自然数とする.が素数のとき,が成り立つ.ここで括弧はルジャンドル記号である.実例:のとき,. のとき,. のとき,.証明:にを掛ける.法の合同式を考えると,. よってが成り立つ.(証明終わり)

サイクロイドを軸に対して反転させた斜面上の物体の運動を考えます.の地点で手を放すとします.ある点の地点まで物体が移動したとき,それにかかる時間をとします.ここで時刻がのとき,物体はどこにあるかという問題を立てます.これを解いていきましょう.サイク…

数学オリンピックに次のような問題が出されたことがあるようです.問題:を自然数とする.もしがで割り切れるならば,は平方数であることを示せ.この問題の解説は別のサイトに任せて,私は次のような問題を立ててみました.がで割り切れるような自然数の組にはどの…

前回の記事 box-white.hatenablog.com定義7,二点の中点とはであり,が存在してとなること.定理8,とする.がの中点であることと,がの中点であることは同値. (証明)定理6よりである.またが存在し,である.このときとなり,確かにはの中点となる.定義9,,をを固定す…

作用幾何学について解説します.ガウスは三次元空間内の二点を通る直線を「を固定するような変換の下で不変な点の集合」と定義したそうです.を固定するような合同変換はを通る軸の周りの回転だけになり,それで不変な点は確かにを通る直線になります.このこと…