作用幾何学入門2 - 名前のない定理

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定義7,二点 $a,b \in M$ の中点 $m \in M$ とは $m \in L(a,b)$ であり, $\alpha \in G$ が存在して $\alpha(m) = m , \alpha(a) = b , \alpha(b) = a$ となること.

定理8, $\gamma \in G$ とする. $m$ が $a,b$ の中点であることと, $\gamma(m)$ が $\gamma(a),\gamma(b)$ の中点であることは同値.
(証明)定理6より $\gamma(m) \in L(\gamma(a),\gamma(b))$ である.また $\alpha \in G$ が存在し, $\alpha(m) = m,\alpha(a) = b , \alpha(b) = a$ である.このとき $\gamma \alpha \gamma^{-1} ( \gamma(m)) = \gamma(m),\gamma \alpha \gamma^{-1}(\gamma(a)) = \gamma(b),\gamma\alpha \gamma^{-1}(\gamma(b)) = \gamma(a)$ となり,確かに $\gamma(m)$ は $\gamma(a),\gamma(b)$ の中点となる.

定義9, $a \in M$ , $G(a)$ を $a$ を固定する $G$ の群とする. $a$ を中心とし $ab$ を半径とする球面とは, $\alpha \in G(a)$ が存在して $\alpha(b) = c$ となる点 $c$ 全体の集合と定義する.この球面を $S(a;b)$ と書く.

定理10, $\gamma \in G$ , $a,b,c \in M$ とする. $c \in S(a;b)$ ならば $\gamma(c) \in S(\gamma(a) ; \gamma(b))$
(証明) $\alpha \in G(a)$ が存在し, $\alpha(b) = c$ となる.このとき $\gamma\alpha \gamma^{-1} \in G(\gamma(a))$ であり, $\gamma \alpha \gamma^{-1}(\gamma(b)) = \gamma(c)$ であり定理が証明された.

定理11, $b \in S(q ; a)$ とし, $q \in L(a,b)$ とする.任意の $c \in S(q ; a)$ と任意の $\alpha \in G(a,b)$ に対して $\alpha(c) \in S(q;a)$ が成り立つ.
(証明) $q \in L(a,b)$ より, $\alpha \in G(a,b)$ に対し $\alpha(q) = q$ . $c \in S(q;a)$ より $\beta \in G$ が存在し, $\beta(q) = q , \beta(a) = c$ .このとき $\alpha \beta(q) = q,\alpha \beta(a) = \alpha(c)$ が成り立ち,従って $\alpha(c) \in S(q;a)$ が言えた.

定義12, $a,b \in M$ とする. $\alpha \in G$ が直線 $a,b$ の軸移動であるとは, $\alpha(a) \in L(a,b)$ かつ $\alpha(b) \in L(a,b)$ となること.この変換全体の集合を $PL(a,b)$ と表す.

定理13, $a,b \in M$ とする. $n \in L(a,b) ,\alpha \in PL(a,b)$ に対して $\alpha(n) \in L(a,b)$ .
(証明)定理6より $\alpha(n) \in L(\alpha(a),\alpha(b))$ . $\alpha(a) \in L(a,b),\alpha(b) \in L(a,b)$ と定理3から $\alpha(n) \in L(a,b)$

この文章はフィクションです.作用幾何学という分野は存在しません.