自由研究　ヒルベルトの数論報告を読む　#1

ヒルベルトの数論報告を読んでいきます.

まず代数的数,体の定義をしています.最初に出てくる定理を見てみましょう.

定理1:任意の体 $k$ （ここでは有理数体の有限次拡大）について,体のすべての数が $\theta$ の有理数係数多項式であらわされるような数 $\theta$ が存在する.

今日はこれを具体例を通して確認していきたいと思います.

例1: $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ の場合.
$\theta = 1 + \sqrt{2}+\sqrt{3} + \sqrt{6}$ とすれば良い.実際 $\theta^2,\theta^3$ を計算すると
$\begin{pmatrix} 1 \\ \theta \\ \theta^2 \\ \theta^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 12 & 8 & 6 & 4 \\ 70 & 50 & 42 & 30 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \\ \sqrt{3} \\ \sqrt{6} \end{pmatrix}$
なので,逆行列を計算して(sagemathを用いた)
$\begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \\ \sqrt{3} \\ \sqrt{6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0& 0 \\ -2 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & -\frac{1}{4} \\ 0 & -5 & -\frac{5}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & \frac{9}{2} & 1 & -\frac{1}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \theta \\ \theta^2 \\ \theta^3 \end{pmatrix}$
となる.確かに $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$ が $\theta$ の有理数係数多項式で表現できた.