自由研究ヒルベルトの数論報告を読む #7

前回の記事で $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ の整基底を求めようとしていました.そこで形式
$\dfrac{a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6}}{3}$
の数,ただし $a,b,c,d$ は有理整数,の中でどの数が整数になるかを決定しようとしていました.そしてこの形式であらわされる数を $(a,b,c,d)$ で表記すると, $(1,1,1,1)$ が整数でないことを共役数をとる議論で示しました.今回はこの続きです.

定理1: $(a,b,c,d)$ は $a \equiv b \equiv c \equiv d \equiv 0 \pmod{3}$ とならない限り整数とならない.

証明: $(a,b,c,d)$ が整数ならばその共役数 $(a,-b,c,-d),(a,b,-c,-d),(a,-b,-c,d)$ も整数となる.これら $4$ つの数の総和を取ると, $(4a,0,0,0)$ が整数となる.これが整数となるのは $a\equiv 0 \pmod{3}$ のときのみ.また $(a,b,c,d) - (a,-b,c,-d) + (a,b,-c,-d) - (a,-b,-c,d) = (0,4b,0,0)$ となるが $(0,4b,0,0) = \dfrac{4b \sqrt{2}}{3}$ が整数となるのは再び $b \equiv 0 \pmod{3}$ のときのみ.同様の議論で $c \equiv 0 , d \equiv 0 \pmod{3}$ が言える.(証明終わり)

この議論は $p,q$ を奇素数として $\mathbb{Q}(\sqrt{p},\sqrt{q})$ の場合に一般化可能である.すなわち $r$ を奇素数とすると形式
$\dfrac{a + b \sqrt{p} + c \sqrt{q} + d \sqrt{pq}}{r}$
が整数となるのは $a \equiv b \equiv c \equiv d \equiv 0 \pmod{r}$ となるときに限られる.

さらに分母が $8$ の形式について次のような定理が成り立つ.

定理2: $(a,b,c,d)$ を数
$\dfrac{a + b \sqrt{p} + c \sqrt{q} + d \sqrt{pq}}{8}$
を表す記号とする.このとき $(a,b,c,d)$ が整数ならば, $a,b,c,d$ はすべて偶数である.

証明: $(a,b,c,d)$ が整数なら,定理1と同様にして $(a,b,c,d) + (a,-b,c,-d) + (a,b,-c,-d) + (a,-b,-c,d) = (4a,0,0,0)$ は整数となる.よって $4a \equiv 0 \pmod{8}$ となり
$a$ は偶数となる.残りの $b,c,d$ についても同様.(証明終わり)