前回の記事 box-white.hatenablog.com でヒルベルトがイデアルを導入したことに触れました.今回は次のような問題を考えたいと思います.問題:与えられたイデアルが単項イデアルかどうか判定する方法を編み出せ.イデアルが単項イデアルかどうかは類数の決定な…

ヒルベルトは次にイデアルを定義します.「体の無限個の代数的整数の集合が,任意の線形結合が再びその集合に属するという性質を持つとき,この集合をイデアルという.ここでは体の代数的整数である.」イデアルには基底が存在することが定理6の内容です.「定理6:…

整基底を求める問題で共役数を用いる方法を解説してきました.今回はの根を有理数体に添加した体の整基底を求めて行きます.の三つの根をと置く.よりは体の生成元である.判別式が有理数の平方なので,この拡大はガロア拡大である.従って別の根をの有理式で表現…

前回の記事での整基底を求めようとしていました.そこで形式 の数,ただしは有理整数,の中でどの数が整数になるかを決定しようとしていました.そしてこの形式であらわされる数をで表記すると,が整数でないことを共役数をとる議論で示しました.今回はこの続きで…

定理5は整基底の存在定理でした.この証明を読むとを体の生成元,を体の次元,を判別式,を整基底とすると 各は と表現されることが分かります.ここでは有理整数です.今回はこの定理を愚直に用いて具体的な体の整基底を決定してみます.例:として体の整基底を決定…

セクション3に入ります.タイトルは「数のノルム,Differente,判別式,体の基底」となっています.代数的数のノルムを共役数との積で定義します.の共役数を としたときノルムは と定義されます.次にDifferenteというものを定義します.高木貞治先生の「代数的整数…

続いて代数的整数の定義がなされます.代数的数が代数的整数,もしくは整数であるとは,以下の形式 ,ここでは有理整数,を満足することである.具体例:は代数的整数である.なぜならからとなり となるから.これに続いて三つの定理が示されます.定理2:任意の整数整…

前回の記事で体の生成元,および共役数を定義しました.しかしこの定義には一つ問題があります.を有理数体の代数拡大とし,を体の生成元とします.の次数をとします.ヒルベルトは体の数の共役数を次のように定義したのでした.数を有理数を用いて と表し,の共役数…

前回の記事で代数的数,体の生成元などの定義をしました.数論報告は次に共役数,共役体の定義をします.数を体の生成元とします. 以下翻訳.ドイツ語は全部独学なので間違いも多いかと思いますがご了承ください. 数が満足する最低次有理係数等式の次数を体の次数…

ヒルベルトの数論報告を読んでいきます.まず代数的数,体の定義をしています.最初に出てくる定理を見てみましょう.定理1:任意の体（ここでは有理数体の有限次拡大）について,体のすべての数がの有理数係数多項式であらわされるような数が存在する.今日はこれ…