自由研究　ヒルベルトの数論報告を読む #5

セクション3に入ります.タイトルは「数のノルム,Differente,判別式,体の基底」となっています.

代数的数 $\alpha$ のノルム $N(\alpha)$ を共役数との積で定義します. $\alpha$ の共役数を $\alpha',\alpha'',\ldots,\alpha^{(m-1)}$
としたときノルムは
$N(\alpha) = \alpha \alpha' \alpha'' \cdots \alpha^{(m-1)}$
と定義されます.

次にDifferenteというものを定義します.高木貞治先生の「代数的整数論」では共役差積,あるいは単に差積と訳されています. $\alpha$ のDifferente $\delta(\alpha)$ は
$\delta(\alpha) = (\alpha - \alpha')(\alpha-\alpha'')\cdots ( \alpha- \alpha^{(m-1)})$
で定義されます.ここでヒルベルトは"Ferner nenne ich das Product -- die Differente der Zahl $\alpha$ "(さらに私はこの積を数 $\alpha$ のDifferenteと名付ける.)と言っています.「私が名付ける」と言っているのでDifferenteという概念は当時存在しなかっただろうことが伺えます.

代数的数 $\alpha$ の判別式 $d(\alpha)$ を $d(\alpha) = \prod_{i < j} ( \alpha^{(i)} - \alpha^{(j)})^2$ で定義します.

続いて「数 $\alpha$ の判別式あるいは差積が $0$ と異なる」ことと「 $\alpha$ が体の生成元であること」が同値であることが証明なしに記されています.

定理5: $m$ 次の体には $m$ 個の整数 $\omega_{1},\ldots,\omega_{m}$ が存在して,体の任意の整数 $\omega$ は形式
$\omega = a_1 \omega_1 + \cdots + a_m \omega_m$
で表現されうる.ここで $a_1,\ldots,a_m$ は有理整数である.

整基底の存在の定理ですね.

名前のない定理

マニアックな数学

自由研究　ヒルベルトの数論報告を読む #5