自由研究ヒルベルトの数論報告を読む #9

ヒルベルトは次にイデアルを定義します.

「体 $k$ の無限個の代数的整数 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots$ の集合が,任意の線形結合 $\lambda_1\alpha_1 + \lambda_2\alpha_2 + \cdots$ が再びその集合に属するという性質を持つとき,この集合をイデアル $\mathfrak{a}$ という.ここで $\lambda_1,\lambda_2,\ldots$ は体 $k$ の代数的整数である.」

イデアルには基底が存在することが定理6の内容です.

「定理6:イデアル $\mathfrak{a}$ に対し, $m$ 個の代数的整数( $m$ は体の次元) $\iota_1,\ldots,\iota_m$ が存在して,イデアル $\mathfrak{a}$ の数 $\iota$ が線形結合
$\iota = l_1 \iota_1 + \cdots + l_m \iota_m$
で一意に表される.ここで $l_1,\ldots,l_m$ は有理整数である.」

イデアルを生成元で表示することが導入されます.

「 $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ は $r$ 個の数であり,イデアル $\mathfrak{a}$ のすべての数が体に属する代数的整数 $\lambda$ を係数とする $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ の一次結合で表現されるとき,私は短く $\mathfrak{a} = (\alpha_1,\ldots,\alpha_r)$ と書く.」

ここで一度ヒルベルトを追うのを中断し,次のような問題を立ててみました.

問題:生成元表示されたイデアル $(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)$ の基底を求める方法を見出せ.

ある数 $\iota$ がイデアルに属するかどうかを決定する問題は,生成元表示だとやりにくいのでこのような問題を立てました.

解答:体の整基底を $\omega_1,\ldots,\omega_m$ とする. $\alpha_i \omega_j$ を $\omega$ の線形結合で表す.
$\alpha_i \omega_j = a^{1}_{ij}\omega_1 + \cdots + a^{m}_{ij} \omega_m$
係数は有理整数である.この係数をもとに行列を作る.
$A = \left( \begin{array}{ccccc} a^{1}_{11} & \cdots & a^{1}_{ij} & \cdots & a^{1}_{rm} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a^{m}_{11} & \cdots & a^{m}_{ij} & \cdots & a^{m}_{rm} \end{array} \right)$
この行列に列の基本変形を行う.残った列
$C = \left( \begin{array}{ccc} c_{11} & c_{21} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{1m} & c_{2m} & \cdots \end{array} \right)$
から $(0,0,\ldots,0)$ でない列を取り出し, $s_1 = c_{11}\omega_1 + \cdots + c_{1m}\omega_m$ などを作ると,これらの $s_1,\ldots,s_m$ がイデアルの基底となる.

証明:イデアルの数 $\iota$ を整基底で表示する.
$\iota = b_1\omega_1 + \cdots + b_m \omega_m$
このとき $\iota$ はある有理整数の組 $d_{ij} (1 \leq i \leq r,1\leq j \leq m)$ を用いて
$\iota = \sum d_{ij} \alpha_{i}\omega_{j}$
と表現できる.すなわち
$\left( \begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} d_{11} \\ \vdots \\ d_{mm} \end{array} \right)$
が成り立つ.列の基本変形を施すことは基本行列を右からかけることに等しい.すべての基本変形を行ったときの基本行列を $P$ とすると
$\left( \begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right) = AP P^{-1} \left( \begin{array}{c} d_{11} \\ \vdots \\ d_{mm} \end{array} \right)$
となる.
$P^{-1}$ は有理整数係数の可逆行列なので,上の式を満たす有理整数の組 $d_{ij}$ が存在することと,
$\left( \begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right) = C \left( \begin{array}{c} e_{11} \\ \vdots \\ e_{mm} \end{array} \right)$
なる有理整数の組 $e_{ij}(1 \leq i \leq r,1 \leq j \leq m)$ が存在することは同値.ここで $AP = C$ を用いた.
この式からイデアルの任意の数 $\iota$ は $s_k = c_{1k}\omega_1 + \cdots + c_{mk}\omega_m (1 \leq k \leq m)$ の有理整数係数の一次結合で表現できる.従ってこの $s_k(1\leq k \leq m)$ がイデアルの基底である.(証明終わり)