はんじょうのケーキ三等分問題(数学)3

ケーキを三等分するときに用いる「はんじょう角」に新しい性質が見つかったので投稿します.

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「はんじょう角」を $\theta$ とすると, $\sin(\theta) + \theta = \dfrac{\pi}{3}$ という性質がありました.今回紹介するのは次の定理です.

定理
「はんじょう角」は円周率 $\pi$ の有理数倍ではない.

証明に入る前に補題を用意します.

補題：
$\sin(n\theta)$ はある整数係数多項式 $A_n(x),B_n(x)$ を用いて $\sin(n\theta) = A_n(\sin(\theta)) + \cos(\theta) B_n(\sin(\theta))$ と表現することができる.

(補題の証明)
$\cos(n \theta) = E_n(\sin(\theta)) + \cos(\theta) F_n(\sin(\theta))$ として, $A_n,B_n,E_n,F_n$ をまとめて考える. $n = 1$ のとき $A_1(x) = x , B_1(x) = 0, E_1(x) = 0 , F_1(x) = 1$ と置けばよい. $n$ について補題が正しいとする.
$\sin(n+1)\theta = \sin(n \theta) \cos(\theta) + \cos(n\theta)\sin(\theta)$ に
$\sin(n\theta) = A_n(\sin(\theta) )+ \cos(\theta)B_n(\sin(\theta))$ などを代入し, $\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta)$ を使って変形すると,
$A_{n+1}(x) = (1-x^2)B_n(x) + x E_n(x) , B_{n+1}(x) = x F_n(x) + A_n(x)$
となる. $\cos(n+1)\theta$ についても同様の議論を行い,
$E_{n+1}(x) = (1-x^2)F_n(x) - A_n(x)x , F_{n+1}(x) = E_n(x) - B_n(x)x$
が分かる.数学的帰納法を用いれば補題が証明できる.

補題2：
$n$ が偶数のとき, $A_n(x) = 0$ , $n$ が奇数のとき, $B_n(x) = 0$

証明は簡単な数学的帰納法による.

定理を証明しましょう.
「はんじょう角」は $\sin(\theta) + \theta = \dfrac{\pi}{3}$ を満足する.よって $\theta$ が $\pi$ の有理数倍なら $\sin(\theta)$ も $\pi$ の有理数倍.また $\theta$ が $\pi$ の有理数倍ならある自然数 $n$ が存在し, $\sin(n \theta) = 0$ となる.
$n$ の偶奇で場合分けをし,どちらの場合も不可能であることを示す.
$n$ が偶数のとき,二つの補題から, $\sin(n \theta) = B_n(\sin(\theta)) \cos(\theta) = 0$ が成り立つ. $\cos(\theta) \neq 0$ なので, $B_n(\sin(\theta)) = 0$ が成り立つ. $\sin(\theta)$ は $\pi$ の有理数倍なので, $\pi$ はある有理係数多項式の根となるが,これは $\pi$ が超越数であることに矛盾.
$n$ が奇数のとき,二つの補題から, $\sin(n \theta) = A_n(\sin(\theta)) = 0$ が成り立つ.再び $\pi$ がある有理係数多項式の根となるが,これは $\pi$ が超越数であることに矛盾.
従って「はんじょう角」は円周率 $\pi$ の有理数倍ではないことが示された.(証明終わり)

名前のない定理

マニアックな数学

はんじょうのケーキ三等分問題(数学)3