はんじょうのケーキ三等分問題(数学)4

前回までの記事で
box-white.hatenablog.com
box-white.hatenablog.com
box-white.hatenablog.com
個性的な方法(円周の一点から放射状に切る)でケーキを三等分することを考えてきました.今回は一般の自然数 $N$ に対して $N$ 等分することを考えます.

結論を先に言うと,ロープを使えば $N$ 等分が作図可能であることが示せます.早速証明していきましょう.

$N$ が奇数のときを考えます.円 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ を書きます. $x$ 軸と直線 $OB$ に囲まれた部分の面積を考えます.この部分の面積を $\dfrac{\pi}{2N}$ にできれば, $N$ 等分の中央にある一片の半分が得られます.この部分の面積を $\dfrac{3\pi}{2N}$ にできれば, $N$ 等分の中央にある一片の半分と,もう一人分のケーキができます.以下これを考えていくと, $2n+1 \leq N$ なる任意の自然数に対して,この部分の面積を $\dfrac{(2n+1)\pi}{2N}$ にすることができればケーキを $N$ 等分できることが分かります.

この部分の面積をグリーンの定理で求めて行きましょう.原点を通る直線に対する線積分 $\int x dy - y dx$ は $0$ になることが分かるので,円周部分の線積分 $\dfrac{1}{2} \int x dy - y dx$ を求めればそれが面積になります.円の中心角 $\theta$ でパラメータ付けします. $x = 1 + \cos (\theta),y = \sin(\theta)$ となります.角 $AOB$ を $\theta_B$ として線積分を計算すると
$\dfrac{1}{2} \int x dy - y dx$
$= \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\theta_B} ( \cos (\theta) + 1) \cos (\theta) + \sin(\theta) \sin(\theta) d \theta$
$= \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\theta_B} \cos(\theta) + 1 d \theta$
$= \dfrac{1}{2} (\sin(\theta_B) + \theta_B)$
となり,これが面積になります.面積が $\dfrac{(2n+1) \pi}{2N}$ に等しいので,中心角 $\theta_B$ は
$\theta_B + \sin (\theta_B) = \dfrac{(2n+1)\pi}{N}$
となります.