計量スプーンとペル方程式(数学)1

次のような問題を考えましょう.

問題「半球状の計量スプーンがある.これに砂糖を擦切りいっぱいで入れる.この砂糖を半分捨て残った半分を平らに均して,砂糖の作る平面が球の切断面と平行になるようにする.このとき砂糖の深さはいくらか?」

私はこの問題がロープを使えば作図可能であることを示しました.

最初にロープを使えば何が作図できるか考えます.ロープを円周に巻き付け,それを等分することで $2\pi$ の $n$ 等分が作図できます.これをもう一度円に巻き付ければ $\cos$ や $\sin$ が作図できます.ここから $\cos\left( \dfrac{m}{n}\pi \right)$ などが作図可能であることが分かります.

最初の問題を解いていきましょう.半球の半径を $R$ とし,求める深さを $X$ とします.深さが $h$ の切断面の面積が $\pi(R^2-h^2)$ であることから,体積を積分で表記できます.半球の体積の半分は $\dfrac{\pi R^3}{3}$ なので,
$\int_{0}^{X} \pi (R^2 - h^2)dh = \dfrac{\pi R^3}{3}$
であることが分かります.
これを計算すると $X$ は方程式 $X^3 - 3R^2 X + R^3 = 0$ を満たすことが分かります.

$X = Rx$ と新しく未知数 $x$ を設定すると,問題は $x^3 - 3x + 1 = 0$ を解くことになります.三次方程式を解くために $x = u+ v$ と置き, $u,v$ を求めて行きます. $x^3 - 3x + 1 = 0$ に代入すると, $(u^3 + v^3 +1) +(u+v)(3uv-3) = 0$ となり, $u^3 + v^3 = -1,uv = 1$ ならOKです. $u^3 + v^3 = -1 , u^3 v^3 = 1$ なので, $u^3,v^3$ は二次方程式 $t^2 + t + 1 = 0$ の二つの根になります.これを解いて $t = \exp \left( \dfrac{2 \pi}{3} i \right)$ となります.これで $u,v$ が求まり, $x = 2 \cos \left( \dfrac{2 \pi}{9} \right) , x = 2 \cos \left( \dfrac{8 \pi}{9} \right) , x = \cos \left( \dfrac{14 \pi }{9} \right)$ となります.