計量スプーンとペル方程式(数学)2

前回の記事の続きです.

box-white.hatenablog.com

半球状の計量スプーンの二等分問題を考えました.今回は一般化して $N$ 等分の問題を考えてみましょう.

前回と同じように球の半径を $R$ ,求める深さを $X$ とすると
$\int_{0}^{X} \pi (R^2 - h^2) dh = \dfrac{ \pi R^3}{3N}$
が成り立ちます.これを整理して $X = Rx$ と正規化すると
$x^3 - 3x + \dfrac{2}{N} = 0$
となります.

この問題の答えがロープで作図できる条件を考えてみましょう.ロープを使えば $1$ の冪根は作図可能なので,方程式の根が $1$ の冪根で表現されるような $N$ を求める問題になります.ロープを使えばもっと多様な長さが作図可能なのですが,ここでは問題を $1$ の冪根に絞ることにします.

さて,三次方程式 $x^3 - 3x + \dfrac{2}{N} = 0$ の根が $1$ の冪根で表現できるとき,この方程式のガロア群はアーベル群になります.クロネッカーウェーバーの定理から逆に,方程式のガロア群がアーベル群であれば根が $1$ の冪根で表現できることが分かります.よって問題は三次方程式 $x^3 - 3x + \dfrac{2}{N} = 0$ のガロア群がアーベル群であるような $N$ を見つけることに変換されました.

三次方程式のガロア群は判別式を調べれば分かります.この方程式の判別式は $27 \cdot 4 - 27 \cdot \dfrac{4}{N^2}$ でこれが有理数の平方になるとき,ガロア群はアーベル群になります.判別式を整理すると, $3 \cdot \left( \dfrac{6}{N} \right)^2 \cdot (N^2 - 1)$ となるので,条件は $3(N^2-1) = r^2$ となる有理数 $r$ が存在することになります.

左辺が整数なので,右辺も整数となります.従って $3(N^2 - 1 ) = M^2$ を満たす自然数の組を探す問題に帰着できました.左辺が $3$ の倍数なので $M = 3 M'$ と置き, $M'$ を改めて $M$ と置きなおすと, $N^2 - 3 M^2 = 1$ を満たす自然数の組を探す問題になります.ところがこれはペル方程式に他なりません.

$(2 + \sqrt{3})^n$ を $a_n + \sqrt{3} b_n$ と表したとき, $(a_n,b_n)$ はこの方程式の解になります.よって初めの問題の答えは $N = 2 , 7 , 26 ,\ldots$ となること,すなわち $N$ がこのような自然数の場合のみ,同様の手段で解決できることが分かりました.

計量スプーンから始めてペル方程式に行きつきました.数学の意外性は底が知れません.

名前のない定理

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計量スプーンとペル方程式(数学)2