作用幾何学入門1 - 名前のない定理

作用幾何学について解説します.

ガウスは三次元空間内の二点 $a,b$ を通る直線を「 $a,b$ を固定するような変換の下で不変な点の集合」と定義したそうです. $a,b$ を固定するような合同変換は $a,b$ を通る軸の周りの回転だけになり,それで不変な点は確かに $a,b$ を通る直線になります.

このことに範をとり,群が集合上に作用しているとき,集合上に直線を書くことができそうです.早速定義をしていきましょう.

この文章では一貫して群 $G$ が集合 $M$ に作用しているとする.また群 $G$ の元はギリシャ文字で,集合 $M$ の元はラテン文字を用いて表すことにする.

定義1 $a,b \in M$ に対し, $G$ の部分群 $G(a,b)$ を $a,b$ の両方を固定する $G$ の元全体の集合とする.
定義2 $a,b \in M$ に対し $M$ の部分集合 $L(a,b)$ を,任意の $G(a,b)$ の変換で不変な $M$ の元の集合とする.これを $a,b$ を通る直線と言い表す.
定理3 $a,b,c,d \in M$ について, $c \in L(a,b) ,d \in L(a,b)$ ならば $G(c,d) \supseteq G(a,b)$
(証明) $\alpha \in G(a,b)$ ならば $c ,d \in L(a,b)$ より $\alpha(c) = c , \alpha(d) = d$ .よって $\alpha \in G(c,d)$ (証明終わり)
定理4 $a,b,c,d,e \in M$ について, $c \in L(a,b) , d \in L(a,b ) , e \in L(c,d)$ ならば $e \in L(a,b)$
(証明)定理3より $G(c,d) \supseteq G(a,b)$ .従って $L(c,d) \subseteq L(a,b)$ より定理が言える.(証明終わり)
定理5 $\gamma \in G$ , $a,b \in M$ とする.このとき集合 $G(a,b)$ と $G(\gamma(a),\gamma(b))$ の間には全単射があり,その対応は $\alpha \in G(a,b)$ に対して $\gamma \alpha \gamma^{-1}$ を対応させることで得られる.
(証明) $\alpha \in G(a,b)$ とすると $(\gamma \alpha \gamma^{-1})(\gamma(a)) = \gamma(a)$ , $(\gamma \alpha \gamma^{-1} ( \gamma(b)) = \gamma(b)$ より, $\gamma \alpha \gamma^{-1} \in G(\gamma(a),\gamma(b))$ が言える.
$\gamma \alpha_1 \gamma^{-1} = \gamma \alpha_2 \gamma^{-1}$ なら $\alpha_1 = \alpha_2$ ゆえに単射性が言える.
$\beta \in G(\gamma(a),\gamma(b))$ とすると, $\gamma^{-1} \beta \gamma \in G(a,b)$ が容易に分かる.よって $\alpha \in G(a,b)$ が存在し, $\beta = \gamma \alpha \gamma^{-1}$ が言える.これで写像の全射性が言えた.(証明終わり)

定理6 $\gamma \in G$ , $a,b \in M$ とする.このとき集合 $L(a,b)$ と集合 $L(\gamma(a),\gamma(b))$ の間には全単射があり,その対応は $c \in L(a,b)$ に対して $\gamma(c)$ を対応させることで得られる.
(証明)定理5より任意の $\beta \in G(\gamma(a),\gamma(b))$ に対して $\alpha \in G(a,b)$ が存在して $\beta = \gamma \alpha \gamma^{-1}$ となる.このとき $\beta(\gamma(c)) =(\gamma \alpha \gamma^{-1})(\gamma(c)) =\gamma(c)$ が言える.ここで $c \in L(a,b)$ であることを用いた.従って $\gamma(c) \in L(\gamma(a),\gamma(b))$ であることが言える.単射性は群の作用より証明できる. $c' \in L(\gamma(a),\gamma(b))$ に対して $\gamma^{-1}(c)$ は $L(a,b)$ の元であることが言える.これより全射性が言える.(証明終わり)