名前のない定理

マニアックな数学

挑戦!フェルマーの最終定理1-2-14 複素数の極形式2

前回,複素数の偏角を導入しました.今回は複素数の積と偏角の関係について見ていきましょう.
次の定理から始めましょう.

定理１:(\cos(\theta_1) + i \sin (\theta_1))\times ( \cos(\theta_2) + i \sin(\theta_2)) = \cos(\theta_1+\theta_2) + i \sin (\theta_1 + \theta_2)

証明:左辺を展開します.
=\cos(\theta_1)\cos(\theta_2) + i \sin(\theta_1)\cos(\theta_2) + i\cos(\theta_1)\sin(\theta_2) - \sin(\theta_1)\sin(\theta_2)

実部と虚部をまとめると
=\cos(\theta_1)\cos(\theta_2) - \sin(\theta_1)\sin(\theta_2) + i \{ \sin(\theta_1)\cos(\theta_2) + \cos(\theta_1)\sin(\theta_2)\}
三角関数の加法定理から
=\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)
となり証明できました.

二つの複素数z_1,z_2を極形式に表して,z_1 = r_1 (\cos(\theta_1) + i\sin(\theta_1)),z_2 = r_2(\cos(\theta_2) + i \sin(\theta_2))
とします.このとき定理1から次の式が成り立ちます.

定理2:z_1 \times z_2 = r_1 \times r_2 \times(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2))

この式からz_1 \times z_2の偏角は\theta_1 + \theta_2に等しいことが分かり,
z_1\times z_2の偏角はz_1の偏角とz_2の偏角の和であることが言えます.

またz_1 \times z_2の動径はr_1 \times r_2に等しいことが分かり,
z_1 \times z_2の動径はz_1の動径とz_2の動径の積であることが言えます.

実例でみておきましょう.

z_1 = 1 + 3iz_2 = -2 + iとします.動径と偏角はそれぞれ
r_1 = \sqrt{10},\theta_1 \fallingdotseq 71.6^{\circ}
r_2 = \sqrt{5},\theta_2 \fallingdotseq 153.4^{\circ}
となります.

z_3 = z_1 \times z_2とします.複素数の積の定義に従って計算すると
z_3= -5-5iとなり,
r_3 = \sqrt{50},\theta_3 = 225^{\circ}
となります.このとき確かに\theta_1 + \theta_2 = \theta_3,およびr_1 \times r_2 = r_3が成り立ちます.