大学では教えてくれない数学　ガウス和とガウステーブル５

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前回
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前回の記事では $3n+1$ 型の素数についての結果をガウス和を用いて解釈しなおしました.今回は $4n+1$ 型の素数について考察していきます.まずは次の定理を目標にします.

定理1: $p = 4n+1$ の素数とすると,二つの自然数 $a,b$ が存在し, $a^2 + b^2 = p$

$4n+1$ 型の素数は $8n+1$ 型の素数と $8n+5$ 型の素数の二つがあります.この二つは $-1$ が異なるグループに属することになるので場合分けが必要です.まずは $8n+1$ 型の素数について見ていきましょう.

$p = 8n+1$ の素数とします.以前の通り $g$ を法 $p$ に関する原始根とします.さらに $p$ の最小剰余を次の4つのグループに分割します.剰余を原始根 $g$ のベキで表現したとき,その指数が4で割り切れる剰余の集合を $(0)$ ,その指数が4で割って1余る剰余の集合を $(1)$ ,などとします.さらに $a \in (i)$ かつ $a + 1 \in (j)$ なる剰余 $a$ の個数を $(i,j)$ で表します.

$-1 \in (0)$ であるため $(i,j)$ は合同方程式 $1 + \alpha_{i} + \alpha_{j} \equiv 0 \pmod{p} ,\alpha_{i} \in (i) , \alpha_{j} \in (j)$ の解の個数です.対称性から $(i,j) = (j,i)$ が言えます. $\alpha_{i} \in (i) , \alpha_{4-i} \in (4-i)$ のとき $\alpha_{i} \alpha_{4-i} \in (0)$ です.
$1 + \alpha_{i} + \alpha_{j} \equiv 0 \pmod{p}, \alpha_{i} \in (i) , \alpha_{j} \in (j)$ に $\alpha_{i}^{-1} \in (4-i)$ を乗じると,方程式は $\alpha_{4-i} + 1 + \alpha_{4-i + j} \equiv 0 \pmod{p},\alpha_{4-i} \in (4-i), \alpha_{4-i + j} \in (4-i + j)$ に移行します.逆向きの変換も可能なのでこれら二つの合同方程式の解の個数は等しく,ここから $(i,j) = (4-i,4-i+j)$ が言えます.

この二つの事実 $(i,j) = (j,i)$ , $(i,j) = (4-i,4-i+j)$ を用いるとガウステーブルは以下のようになります.
$\begin{pmatrix} h & i & k & l \\ i & l & m & m \\ k & m & k & m \\ l & m & m & i \end{pmatrix}$
第二行の総和は $(1)$ の個数に等しいので, $i + l +2m = 2n$ が言えます.第三行,第四行の総和もそれぞれ $2n$ に等しいことが分かります.第一行の総和は $-1 \in (0)$ であるので $2n-1$ に等しく,これらをまとめると次のようになります.
$\left \{ \begin{array}{l} h + i + k + l = 2n-1 \\ i + l + 2m = 2n \\ 2k+2m = 2n \\ l + 2m + i = 2n \end{array} \right.$
第一の式と第二の式を見比べることで $h + k = 2m -1$ が得られ,第三の式と第四の式を見比べることで $2k = l + i$ が得られます.

前回のガウス和の考察をここで用います. $\eta^4 = 1$ なる複素数とすると, $S = \sum_{\alpha = 0}^{3} \sum_{\beta = 0}^{3} (\alpha,\beta) \eta^{\alpha + \beta}$ の絶対値は $p^{0.5}$ に等しいことが言えます.
$S = (h + 2m + k) + (2i + 2m) \eta - (2k + l + i) - (2l+2m)\eta \\= (h + 2m -k - l -i) + (2i -2l)\eta$
です.
$l + i = 2k$ から $h + 2m - k - l -i = h + 2m - 3k$ となり, $h = 2m - 1-k$ から $h + 2m - 3k = 4m - 4k -1$ となります.
以上のことをまとめると, $S = (4m-4k - 1) + (2i - 2l)\eta$ となります. $S$ の絶対値の二乗は $p$ に等しいのでここから
$(4m-4k -1)^2 + (2i - 2l)^2 = p$ が言えます.

$8n+5$ 型の素数も同様の議論が成立し, $p = a^2 + b^2$ となる $a,b \in \mathbb{Z}$ が存在することが言えました.

次は
定理2: $p = a^2 + b^2$ となる整数 $a,b$ は二項係数から計算が可能である.
を目標にしましょう.再び $p = 8n+1$ とします.

$a = 4k - 4m + 1, b = 2i -2l$ とすると,今までに得られた等式から $h,i,k,l,m$ を $p,a,b$ で表現することができ,
$\left \{ \begin{array}{l} 16 h = p - 6a -11 \\ 16i = p + 2a - 4b -3 \\ 16k = p + 2a -3 \\ 16l = p + 2a + 4b - 3 \\ 16 m = p -2a + 1 \end{array} \right.$
となります.

さて $\dfrac{1}{4}(p-1) = \lambda$ として,和 $F = \sum_{x=1}^{p-1}(x^4 + 1)^{2\lambda}$ の剰余を考えましょう.これは $F \equiv -2 - \binom{2 \lambda}{\lambda} \pmod{p}$ となります.一方 $(x^4 + 1)^{2\lambda}$ は $x^4 + 1 \in (0)$ もしくは $x^4 + 1 \in (2)$ ならば $+1$ と合同であり, $x^4 + 1 \in(1)$ もしくは $x^4 + 1 \in (3)$ なら $-1$ と合同であることが言えます. $x^4 \in (0)$ ですので,和 $F$ は $F \equiv (00) -(01) + (02) - (03)$ となります.これに上式を代入すると, $F \equiv -2 - 2a$ となります.両者を等置して $2a \equiv \binom{2 \lambda}{\lambda} \pmod{p}$ が言えました.

$p > 16$ ならば $2 \sqrt{p} < \dfrac{p}{2}$ が成り立ちます. $p = a^2 + b^2 \geq a^2$ から $a \leq \sqrt{p}$ ,すなわち $2a \leq 2 \sqrt{p} \leq \dfrac{p}{2}$ となります.よって $\binom{2 \lambda}{\lambda}$ の絶対最小剰余を $P_{1}$ とすると,合同式 $2a \equiv \binom{2\lambda}{\lambda} \pmod{p}$ は剰余を取り払っても成立し, $2a = P_{1}$ が成り立ちます.