謎の数学1 平方剰余記号のある種の総和2

前回の記事で $p$ を素数, $a$ を $p$ で割り切れない整数とするとき,
$\sum_{x = 0}^{p-1} \left( \dfrac{x^2 + a}{p} \right) = -1$
が成り立つことを示しました.今回はこの続きです.

集合 $A$ を $p$ の平方剰余の集合, $B$ を平方非剰余の集合とします. $k,l$ を $p$ で割り切れない互いに非合同な任意の整数とします.

さらに $C_{00}$ を $x \in A,x + k\in A , x + l \in A$ となる剰余 $x$ の集合,
$C_{01}$ を $x \in A , x + k \in A , x + l\in B$ となる剰余 $x$ の集合,
$C_{10}$ を $x \in A , x + k\in B , x + l \in A$ となる剰余 $x$ の集合,
$C_{11}$ を $x \in A, x + k \in B , x + l \in B$ となる剰余 $x$ の集合とします.

そしてそれぞれの個数を小文字であらわして,例えば $c_{00}$ などと表わします.

今回の目標は次の定理になります.
定理1: $c_{01}$ と $c_{10}$ の差の絶対値は $1$ を超えない.

証明のためさらに四つの集合を定義します.
$E$ を $x \in A, x + k \equiv 0 ,x+l \in A$ となる剰余 $x$ の集合,
$F$ を $x \in A,x+k \equiv 0 , x + l \in B$ となる剰余 $x$ の集合,
$G$ を $x \in A, x + l \equiv 0 , x + k \in A$ となる剰余 $x$ の集合,
$H$ を $x \in A, x + l \equiv 0 , x + k \in B$ となる剰余 $x$ の集合とします.
これらの集合の元の個数もそれぞれ小文字であらわします.

証明:
$\sum_{x = 0}^{p-1} \left( \dfrac{x^2 + k}{p} \right) = \left( \dfrac{k}{p} \right) + \sum_{x = 1}^{p-1} \left( \dfrac{x^2 + k}{p} \right)$
$x^2,x\neq 0$ は八つの集合 $C_{00},C_{01},C_{10},C_{11},E,F,G,H$ のいずれかに所属し,これらの集合は共通部分を持たない.
$x^2 \in C_{00}$ なら $\left( \dfrac{x^2 + k}{p} \right) = +1$ などから,この和は
$\left( \dfrac{k}{p} \right) + 2(c_{00} + c_{01} - c_{10} - c_{11}) +2 ( g-h)= -1$ となる.
$\sum_{x=0}^{p-1} \left( \dfrac{x^2 + l}{p} \right) = -1$ から同様に
$\left( \dfrac{l}{p} \right) + 2(c_{00} - c_{01} + c_{10} -c_{11}) + 2(e-f) = -1$ となる.
これらの式の差をとると
$\left(\dfrac{k}{p} \right) - \left( \dfrac{l}{p} \right) + 4(c_{01}-c_{10}) + 2(g-h) - 2(e-f) = 0$
となる.ここで $g,h$ は大きくても $1$ でどちらか一方が $1$ なら他方は $0$ であるので,
$2(g-h)$ は $-2 \leq 2(g-h) \leq +2$ である.同様に $-2 \leq 2 ( e-f) \leq 2$ である.
従って, $-6 \leq 4(c_{01}-c_{10}) \leq 6$ となるが $c_{01}-c_{10}$ は整数なので
$c_{01}-c_{10}$ は $-1,0,1$ のいずれかの値を取ることが示せた.(証明終わり)

名前のない定理

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