大学では教えてくれない数学　ガウス和とガウステーブル１

今回からガウス和とガウステーブルについて書いていきたいと思います.（全六回）

次のような定理を得ることができます.

1. $p$ を3で割って1余る素数とする.( $p = 3n+1$ ) $P_{1}$ を $\binom{2n}{n}$ の法 $p$ に関する絶対最小剰余とすると,量 $12p - 3 P_{1}^2$ は必ず平方数になる.

2. $p$ を3で割って1余る素数とする.このとき整数 $a,b$ が存在して $p = a^2 + ab + b^2$ とできる.さらにこの $a,b$ は二項係数から計算が可能である.

3. $p$ を4で割って1余る素数とする.このとき整数 $a,b$ が存在して $p = a^2 + b^2$ とできる.さらにこの $a,b$ は二項係数から計算が可能である.

4. $p$ を3で割って1余る素数とし, $a,b,c$ を $abc \not \equiv 0 \pmod{p}$ なる整数とする.合同方程式 $aX^3 + bY^3 + cZ^3 \equiv 0 \pmod{p}$ の本質的に異なる解の個数は $p+1$ に限りなく近く,その誤差は $2\sqrt{p}$ で抑えられる.