謎の数学１　平方剰余記号のある種の総和１

$p$ を素数とします.次の総和を考えます.
$\sum_{X = 0}^{p-1} \left( \dfrac{X^2 + 1}{p} \right)$
$p = 7$ として計算してみましょう.
$\left( \dfrac{0^2 + 1}{7} \right) = +1 , \left( \dfrac{1^2 + 1}{7} \right) = +1 , \left(\dfrac{2^2 + 1}{7} \right) = -1$
$\left( \dfrac{3^2 + 1}{7} \right) = -1 , \left( \dfrac{4^2 + 1}{7} \right) = -1 , \left( \dfrac{5^2 + 1}{7} \right) = -1,\left(\dfrac{6^2 + 1}{7} \right) = +1$ で総和は $-1$ になります.

実は次の定理が成り立ちます.おそらく既知のものだとは思いますが,私はこれを自力で発見しました.

定理1: $\sum_{X = 0}^{p-1} \left( \dfrac{X^2 + 1}{p} \right) = -1$

今回はこれを目標にしましょう.これを示すためにまずは次の補題を証明します.

補題2: $\sum_{X = 0}^{p-1} \left( \dfrac{X}{p} \right) \left( \dfrac{X+1}{p} \right) = -1$

証明:与式を $A$ と置く. $a$ を $p$ で割り切れない整数とするとき,等式 $\left( \dfrac{X}{p} \right) \left( \dfrac{X+1}{p} \right) = \left( \dfrac{a}{p} \right) \left( \dfrac{X}{p} \right) \left( \dfrac{a}{p} \right) \left( \dfrac{X+1}{p} \right) =\\ \left( \dfrac{aX}{p} \right) \left( \dfrac{aX+a}{p} \right)$
が成り立つ.これを用いて $A = \sum_{X = 0}^{p-1} \left( \dfrac{aX}{p} \right) \left( \dfrac{aX + a}{p} \right)$
となるが, $X$ が $0$ から $p-1$ まで動くとき $aX$ も $0$ から $p-1$ まで動くので
$A = \sum_{X=0}^{p-1} \left( \dfrac{X}{p} \right) \left( \dfrac{X+a}{p} \right)$
となる.

それゆえ $(p-1)A = \sum_{a = 1}^{p-1} \sum_{X = 0}^{p-1} \left( \dfrac{X}{p} \right) \left( \dfrac{X+a}{p} \right)$
となるが, $\sum_{a=1}^{p-1} \left( \dfrac{X+a}{p} \right) = - \left( \dfrac{X}{p} \right)$ であることを考慮すると
$(p-1)A = \sum_{X = 0}^{p-1} - \left( \dfrac{X}{p} \right)^2 = -(p-1)$ となり, $A = -1$ が言えた.(証明終わり)

冒頭に掲げた定理を証明しましょう.
定理1: $\sum_{X = 0}^{p-1} \left( \dfrac{X^2 + 1}{p} \right) = -1$

証明: $a$ を $p$ で割り切れない整数とする.等式 $\left( \dfrac{X^2 + 1}{p} \right) = \left( \dfrac{a^2}{p} \right)\left( \dfrac{X^2+1}{p} \right) = \left( \dfrac{(aX)^2 + a^2}{p} \right)$ が成り立つ. $X$ が $0$ から $p-1$ まで動くとき $aX$ も $0$ から $p-1$ まで動くので, $\sum_{X = 0}^{p-1} \left( \dfrac{X^2 + 1}{p} \right) = \sum_{X = 0}^{p-1}\left( \dfrac{X^2 + a^2}{p} \right)$
が成り立つ.

$A_{k} = \sum_{X = 0}^{p-1} \left( \dfrac{X^2 + k}{p} \right)$ とすると,同様の議論から $A_{k}$ は二つの値のみを取ることが分かる.すなわち平方剰余なる $k$ についての総和と平方非剰余なる $k$ についての総和である.前者を $B$ ,後者を $C$ とする.

$\sum_{k = 1}^{p-1} A_{k} = \sum_{X = 0}^{p-1} \sum_{k=1}^{p-1} \left( \dfrac{X^2 + k}{p} \right)$ であり,
$\sum_{k = 1}^{p-1} \left( \dfrac{X^2 + k}{p} \right) = - \left( \dfrac{X^2}{p} \right) = -1$ であるから,
$\sum_{ k = 1}^{p-1} A_{k} = \dfrac{p-1}{2} B + \dfrac{p-1}{2}C = - (p-1)$ となり $B+C = -2$ となる.

ここで $A_{-1} = \sum_{X = 0}^{p-1} \left(\dfrac{X^2 -1}{p} \right)$
を計算する. $\left( \dfrac{X^2-1}{p} \right) = \left( \dfrac{X-1}{p} \right) \left( \dfrac{X+1}{p} \right)$
であるので, $A_{-1} = \sum_{X =0}^{p-1} \left( \dfrac{X-1}{p} \right) \left( \dfrac{X+1}{p} \right)$
となる. $X$ が $0$ から $p-1$ まで動くとき, $X-1$ も $0$ から $p-1$ まで動くので
$A_{-1} = \sum_{X = 0}^{p-1} \left( \dfrac{X}{p} \right) \left( \dfrac{X+2}{p} \right)$ となるがこれは補題2の証明から $-1$ である.
$A_{-1}$ が $B$ か $C$ かは分からないものの, $B,C$ のいずれか一方が $-1$ となることが分かった.