代数的整数論の応用2 - 名前のない定理

$y^n = x^2 + 1$

について $n= 3$ に限定して考察しました.今回は一般の $n$ について考えていきましょう.

まず $n$ が偶数であるときを考察します. $n = 2k$ とすると

$y^{2k} = x^2 + 1 \leftrightarrow y^{2k}-1 = x^2$

となります.左辺は因数分解ができて $(y^k-1)(y^k+1) = x^2$ となります. $y^k-1,y^k+1$ には $2$ しか共通因数がありません.そこで可能性として

$y^k-1 = a^2,y^k+1 = b^2$

$y^k-1 = 2a^2,y^k+1 = 2b^2$

のみになります.ここで $a,b \in \mathbb{Z}$ です.二番目の式から一番目の式を引くことによって, $b^2-a^2 = 2,b^2-a^2 = 1$ の二通りの式が得られます.左辺を因数分解して $(b-a)(b+a) = 2,(b-a)(b+a) = 1$ となりますが, $2$ の整数因子が $2,1,-1,-2$ しかないことなどを用いるとこれは有限個の可能性しかありません.これらをしらみつぶしに検討していくと, $b = \pm 1 ,a = 0$ のみが答えになり,ここから初めの方程式は $y = \pm1 ,x = 0$ のみを整数解に持つことが分かりました.

よって以下 $n$ を奇数として考えます.

初めに $x$ が偶数で, $y$ が奇数であることを示します. $x$ が奇数だとすると,ある整数 $k$ を用いて $x^2 + 1 = 4k^2 + 4k + 2$ となります.これは $4$ で割ると $2$ あまる整数です.ところが $y^n$ は奇数であるか, $4$ で割り切れる整数のどちらかになるのでこれは矛盾です.従って $x$ は偶数で $y$ は奇数であることが示されました.

ディオファントス方程式を因数分解します. $(x+i)(x-i) = y^n$ となります.次は $(x+i),(x-i)$ はガウス整数の領域において互いに素であることを示します. $(x+i),(x-i)$ の共通因数はその差 $(x+i)-(x-i) = 2i$ を割ります.共通因数は $2$ の因子であることが分かりました.ところが $x$ は偶数でしたので, $(x+i)$ のノルムは奇数になります.もし $2$ の因子を持っていたとするとノルムが偶数であるはずなので矛盾です. $(x+i),(x-i)$ は互いに素であることが示されました.

$(x+i),(x-i)$ が互いに素であったことと,ガウス整数の一意分解性からある整数 $a,b,c$ が存在して $x + i =i^c (a+bi)^n$ ,かつ $y = a^2 + b^2$ となります. $y$ は奇数なので $a,b$ のいずれか一方が偶数で,もう片方が奇数となります.

$c = 0$ の場合を考えましょう.両辺の虚部を比較すると

$1 = \binom{n}{1}a^{n-1}b - \binom{n}{3}a^{n-3}b^3 + \cdots + (-1)^{\frac{n-1}{2}}b^n$

となります.右辺は $b$ で割り切れるので, $b = \pm 1$ です.

$b = 1$ の場合を考えましょう. $a,b$ の片方が偶数だったので, $a$ は偶数になります.このとき

$1 = \binom{n}{1}a^{n-1} - \binom{n}{3}a^{n-3} + \cdots +(-1)^{\frac{n-3}{2}}\binom{n}{n-2}a^2 + (-1)^{\frac{n-1}{2}}$

です.最後の項が $-1$ だった場合, $2 = a^2 d$ となりますが右辺は $4$ で割り切れるので矛盾です.以下最後の項は $1$ であるとします.

ここで $a = 0$ 以外の整数解を持たないことを示します. $a\neq 0$ とすると,両辺を $a^2$ で割って

$0 = \binom{n}{n-1}a^{n-3} - \binom{n}{3}a^{n-5} + \cdots + \binom{n}{2}$

となります.ここで同時に二項係数の性質を用いました.さて $k \geq 2$ のとき

$a^{2k-2}\binom{n}{2k}$ に含まれる $2$ のベキ指数は $\binom{n}{2}$ に含まれる $2$ のベキ指数より真に大きいことを示します.

$a^{2k-2}\binom{n}{2k} = \frac{n(n-1)}{1\cdot2} \times \frac{(n-2)\cdots (n-2k+1)}{1\cdot2 \cdots (2k-2)} \times \frac{1\cdot 2 \cdot a^{2k-2}}{(2k-1)2k}$

です.中央の項は整数です.ここで（ $k$ に含まれる $2$ のベキ指数）は $k$ より小さく, $k \leq 2k-2$ であることを用いると,上式最後の項は分子が $2$ のべきで割り切れる既約分数であることが分かります.よって $a^{2k-2}\binom{n}{2k}$ に含まれる $2$ のベキ指数は $\binom{n}{2}$ に含まれる $2$ のベキ指数より真に大きいことが示されました.

ここから $0 = \binom{n}{n-1}a^{n-3} - \binom{n}{3}a^{n-5} + \cdots + \binom{n}{2}$

は不可能であることになり, $a=0$ しかないことが分かりました.

他のケースも同様の考察を行うことで, $x = 0,y = 1$ のみが $y^n = x^2+1$ の整数解であることが分かりました.