自由研究　グレブナー基底と仮想次元2

前回の記事で次のような問題が提示されました.
問3:イデアル $I$ の生成元を適切に選んで,仮想次元 $\sigma$ に整合的にすることはできるか?

答えは簡単で被約グレブナー基底をつくれば,そのような仮想次元 $\sigma$ をすべて求めることができます.
定理:仮想次元 $\sigma$ を性質 $A$ 「イデアル $I$ の生成元を適当に選べば,仮想次元 $\sigma$ に対して整合的になる」を満たすものとする.このとき $I$ の被約グレブナー基底は仮想次元 $\sigma$ に対して整合的である.すなわち性質 $A$ を持つような仮想次元をすべて求めることができる.
証明:性質 $A$ の生成元をとり,そこからイデアル $I$ の被約グレブナー基底を作ると,それは $\sigma$ に対して整合的である.(証明終わり)

さらに次の定理も成り立ちます.
定理:ある単項式順序に関するイデアル $I$ の被約グレブナー基底を $g_1,\ldots,g_s$ とする.別の単項式順序に関するイデアル $I$ の被約グレブナー基底を $g'_1,\ldots,g'_t$ とする.もし仮想次元 $\sigma$ が $g_1,\ldots,g_s$ に対して整合的ならば, $g'_1,\ldots,g'_t$ に対しても整合的である.

証明:グレブナー基底 $g'_1,\ldots,g'_t$ は $g_1,\ldots,g_s$ から作ることができる. $g_1,\ldots,g_s$ は仮想次元 $\sigma$ に対して整合的であるから, $g'_1,\ldots,g'_t$ も整合的である.(証明終わり)

この定理から仮想次元 $\sigma$ が被約グレブナー基底に対して整合的であるという性質は,単項式順序によらない性質だと分かりました.さらに被約グレブナー基底は単項式順序に関して一意なので,被約グレブナー基底が仮想次元 $\sigma$ に対して整合的であることはイデアル $I$ の選択だけに依存する性質になります.そこで次のような定義が成立します.

定義:イデアル $I$ が物理イデアルであるとは,その被約グレブナー基底が仮想次元 $\sigma$ に対して整合的であることとする.

この物理イデアルは様々な推移法則を満たします.

定理: $I,J$ を仮想次元 $\sigma$ に対する物理イデアルとする.このとき
(i)和 $I+J$ も $\sigma$ に対する物理イデアル.
(ii)積 $IJ$ も $\sigma$ に対する物理イデアル.
(iii)交わり $I \cap J$ も $\sigma$ に対する物理イデアル

証明: $I,J$ が物理イデアルなので,仮想次元 $\sigma$ に整合的な生成系 $f_1,\ldots,f_r$ , $g_1,\ldots,g_s$ を取ることができる. $I+J$ の生成系として $f_1,\ldots,f_r,g_1,\ldots,g_s$ を取ることができる.これは明らかに仮想次元 $\sigma$ に対して整合的なので,被約グレブナー基底も $\sigma$ に対して整合的.(i)の証明が終わった.(ii)の証明も同様.
$I \cap J$ のグレブナー基底は $tf_1,\ldots,tf_r,(1-t)g_1,\ldots,(1-t)g_s$ のグレブナー基底のうち $t$ を含まないもの.今 $t$ を無次元量ととらえることで $tf_1,\ldots,tf_r,(1-t)g_1,\ldots,(1-t)g_s$ は仮想次元 $\sigma$ に対して整合的.それゆえ出来上がるグレブナー基底も $\sigma$ に対して整合的.(証明終わり)