このように三等分するには,角を上手に定める必要があります.今回私はロープを使えばこの三等分が作図可能であることを証明しました.先行研究として数学ボーイZさんの「東大数学科院生がはんじょうさんによるケーキの等分を解説します」という動画がYOUTUBEに上がっているのでそちらも参照してください.
角をとして表し,が満足する等式を導きます.
を円の中心とし円の半径をとします.ケーキを三等分することは,弦で切り取った部分の面積がであることを意味します.この部分は扇形から三角形を除いたものになります.よって扇形と三角形の面積を求めればよいことが分かります.
角はなので中心角はとなります.よって扇形の面積はとなります.
三角形の面積は底辺がで高さがであるので,となります.
以上から切り取った部分の面積はとなります.これが三等分と等しいことから,等号で二つを結ぶことができて,整理すると角度は
を満たすことが分かりました.
さて弧と弦に注目します.中心角の定理から,角はとなり,弧と弦の長さはそれぞれ,となります.両者の和を取って,の関係式を使うと,弧と弦の長さの和はとなります.これを用いて作図していきましょう.
円の中心を作図することは既知とします.円にロープを巻き付け三等分すると,その長さはになります.セロハンテープ等を使い,この長さの輪を作ります.輪の一部分を円周に沿わせていき,弦がピンと張るようにします.このときの輪の両端点をとし,円弧の中点をとします.中点は定規とコンパスでも作図可能です.
中点と円の中心を直線で結び,この直線と円が交わるもう一方の点をとします.このときはちょうどケーキを三等分します.(作図終わり)
コンパスと定規を用いた作図問題はよく知られていますが,そこにロープを加えるだけで面白い数学ができそうです.