三乗数の四つの和 - 名前のない定理

$3^3+4^3+5^3= 6^3$ です.連続する整数がこのような関係にあるだけで面白いといえるのですが,今回はここから発展させて新しい等式を導いていきましょう.目標は $263^3 + 363^3 + 907^3 = 933^3$ です.

第一の式を書き変えて, $3^3+ 4^3 + 5^3 + (-6)^3 = 0$ とします. $s,t$ の方程式
$(3s + 4t)^3 + (4s + 5t)^3 + (5s - 6t)^3 +(-6s + 3t)^3 = 0$
を考えていきます. $s^3,t^3$ の係数はどちらも $3^3 + 4^3 + 5^3 + (-6)^3 = 0$ より $0$ となります.よってこの方程式は
$(3^2 \cdot 4 + 4^2 \cdot 5 + 5^2 \cdot (-6) + (-6)^2 \cdot 3) s^2 t \\ +(3 \cdot 4^2 + 4 \cdot 5^2 + 5 \cdot (-6)^2 + (-6) \cdot 3^2) st^2 = 0$
となります. 係数を計算して, $st$ で割ってやると $74s+ 274 t = 0$ となります. $2$ で割ってやると, $37s + 137t = 0$ となり,この方程式は $s = 137 , t = -37$ を解に持つことが分かります.

この値を $(3s + 4t)^3 + (4s + 5t)^3 + (5s -6t)^3 +(-6s + 3t)^3$ に代入すれば,等式 $263^3 + 363^3 + 907^3 = 933^3$ が得られます.

次回はラマヌジャンの恒等式 $(6s^2 -4st + 4t^2)^3 = \\ (3s^2+5st-5t^2)^3 +(4s^2 - 4st + 6t^2)^3 + (5s^2 - 5st -3t^2)^3$
を導きます.手品のタネは今回と同種のものが一つと係数の選択の対称性です.最後までお読みいただきありがとうございました.