tan(x) = xの根について2 - 名前のない定理

前回の記事
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で $\tan(x) = x$ の根の無限級数の値を求めました.今回はこの続きとして一般的な級数 $\sum \dfrac{1}{\rho^{2n}}$ の値を求める方法を考えます.

まず $I_{2n+1} = \int_{0}^{1} x^{2n+1} \sin(\rho x) dx$ と置きます.ここで $\rho$ は $\tan(x) = x$ の任意の正の根です.
$I_{2n+1} = \dfrac{1}{\rho} \int_{0}^{1} x^{2n+1} (-\cos (\rho x))' dx$ となって部分積分の公式から
$I_{2n+1} = - \dfrac{\cos(\rho)}{\rho} + \dfrac{2n+1}{\rho} \int_{0}^{1} x^{2n} (\cos(\rho x)) dx$ となります.
$\cos(\rho x) = \dfrac{1}{\rho}(\sin(\rho x))'$ を用いてもう一度部分積分の公式を使うと,
$I_{2n+1} = -\dfrac{\cos(\rho)}{\rho} + \dfrac{(2n+1) \sin(\rho)}{\rho^2} - \dfrac{(2n+1)(2n)}{\rho^2} I_{2n-1}$
となります.ここで $\sin(\rho) = \rho \cos (\rho)$ より初めの二項が打ち消しあって
$I_{2n+1} = \dfrac{2n\sin(\rho)}{\rho^2} - \dfrac{(2n+1)(2n)}{\rho^2} I_{2n-1}$ となります.
また $I_{3} = \dfrac{2 \sin \rho}{\rho^2}$ です.これらの式から $a_m$ を定数として, $I_{2n+1} = \sum_{m=1}^{n} \dfrac{a_m \sin(\rho)}{\rho^{2m}}$ と表すことができます.

$f(x) = x^{2n+1} - n x^3$ は $f(0) = 0,f(1) = f'(1)$ なので前回の記事の展開公式が適用できます.
それは
$f(x) = 3x ( f(t),t) + \sum_{\rho} \dfrac{2}{\sin^2 \rho} (f(t),\sin(\rho t))\sin(\rho x)$
で和は $\tan(x) = x$ の正の根すべてを渡ります.
これを計算すると
$f(x) =$
$3x\left( \dfrac{1}{2n+3} - \dfrac{n}{5} \right) + \sum_{\rho} \left( \sum_{m} \dfrac{2 a_m\sin(\rho)}{\rho^{2m}} \dfrac{ \sin (\rho x)}{\sin^2(\rho)} + \dfrac{4n}{\rho^2} \dfrac{\sin(\rho)}{\sin^2(\rho)} \sin(\rho x) \right)$
となります.
$x = 1$ を代入して
$1-n = 3\left( \dfrac{1}{2n+3} - \dfrac{n}{5} \right)+ \sum_{\rho} \left( \sum_{m} \dfrac{2 a_m}{\rho^{2m}} + \dfrac{4n}{\rho^2} \right)$
となります.
$n$ を一つずつ増やしていけば,帰納的に $\sum\dfrac{1}{\rho^{2n}}$ の値を求めることができます.

試しに $\sum_{\rho} \dfrac{1}{\rho^{6}}$ を求めましょう. $I_7$ を公式を使って求めると
$I_7 = \dfrac{6 \sin \rho}{\rho^2} - \dfrac{168 \sin \rho}{\rho^4} + \dfrac{1680 \sin \rho}{\rho^6}$
となります.
$f(x) = x^7 -3x^3$ として,これを代入すると
$1-3 = 3 \left( \dfrac{1}{9} - \dfrac{3}{5} \right) - 336 \sum_{\rho}\dfrac{1}{\rho^4} + 3360 \sum_{\rho}\dfrac{1}{\rho^6}$
となります. $\sum_{\rho} \dfrac{1}{\rho^4} = \dfrac{1}{350}$ であることから
$\sum_{\rho} \dfrac{1}{\rho^6} = \dfrac{1}{7875}$ と求まりました.

この記事を書いている途中に複素関数の無限乗積を使うことで,別の方法でも求められることに気付きました.次回はそのことについて
考察したいと思います.
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