円分多項式が既約であることのクロネッカーによる証明

$p$ を奇素数とするとき,円分多項式 $x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1$ は整数多項式として既約です.これはアイゼンシュタインの既約判定法を使って証明するのが一般的です.今日はクロネッカーによる既約性の証明を紹介します.

$\zeta$ を $1$ の $p$ 乗根とすると,円分多項式は $\zeta,\zeta^2,\ldots,\zeta^{p-1}$ を根に持ちます.次の補題を証明します.

補題1: $f(x) = a + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_{n}x^n$ を整数係数多項式とするとき,合同式
$f(\zeta)f(\zeta^2)\cdots f(\zeta^{p-1}) \equiv f(1)^{p-1} \pmod{p}$
が成り立つ.ただしこの合同式は左辺と右辺の差を形式 $c_0 + c_1 x + \cdots + c_{p-1}x^{p-1}$ と表したとき,すべての係数が $p$ で割り切れることを意味する.

証明:整数係数多項式 $g(x)$ を $g(x) = f(x)f(x^2)f(x^3) \cdots f(x^{p-1})= b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \cdots b_m x^m$ とする.和 $g(1) + g(\zeta) + g(\zeta^2) + \cdots + g(\zeta^{p-1})$ を計算すると,左辺は $f(1)^{p-1} + (p-1) f(\zeta)f(\zeta^2) \cdots f(\zeta^{p-1})$ となる.なぜなら集合 $\zeta,\zeta^2,\ldots,\zeta^{p-1}$ は $\zeta$ を $\zeta^k(1 \leq k \leq p-1)$ に置き換えても集合として不変だからである.

右辺を計算すると,指数 $k$ が $p$ で割り切れない項 $b_k x^k$ の総和は, $\zeta$ の性質から $0$ となり,指数 $k$ が $p$ で割り切れる項 $b_k x^k$ の総和は, $p$ 個の $b_k$ の和となり, $p$ で割り切れる.従って
$f(\zeta)f(\zeta^2)\cdots f(\zeta^{p-1}) \equiv f(1)^{p-1} \pmod{p}$
が成り立つ.これで補題は証明された.

さて円分多項式 $x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1$ が二つの定数ではない整数係数多項式 $f(x),g(x)$ の積に分解されたとする.このとき
$f(1)g(1) = p$ となる. $f(1),g(1)$ は整数で $p$ は素数ゆえ, $f(1),g(1)$ のいずれか一方は $1,-1$ のいずれかとなる.今 $f(x)$ を $f(1) = \pm 1$ となる多項式とする. $f(x)$ は円分多項式の因子であることから, $\zeta,\zeta^2,\ldots,\zeta^{p-1}$ のいずれかを根に持ち,それゆえ $f(\zeta)f(\zeta^2)\cdots f(\zeta^{p-1}) = 0$ となる.

これと $f(1) = \pm 1$ であること,そして補題の合同式を考慮すると
$0 = f(\zeta)f(\zeta^2) \cdots f(\zeta^{p-1}) \equiv f(1)^{p-1} \equiv \pm 1 \pmod{p}$
となり矛盾である.従って円分多項式 $x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1$ が既約であることが示された.(証明終わり)

$\zeta$ が持つ対称性をうまく利用した証明ですね.

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