名前のない定理

マニアックな数学

4で割って1余る素数に関するガウスの定理

こんにちは。今回はガウスの発見した定理について紹介します。

$4$ で割って $1$ 余る素数 $p$ は二つの平方数の和 $a ^ 2 + b ^ 2$ で書けることをご存知でしょうか。例えば

$5 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2$

$13 = 2 ^ 2 + 3 ^ 2$

$17 = 1 ^ 2 + 4 ^ 2$

$29 = 2 ^ 2 + 5 ^ 2$

のように書けます。

これは「存在型」の定理であり具体的な $a$ と $b$ の値はわからないといわれています。しかしガウスは四次剰余の理論を展開する際にこの $a$ と $b$ を具体的に計算する公式を発見しています。今回はこの公式を紹介したいと思います。なお証明はしません。証明は次の本を参照してください。

「ガウス数論論文集　高瀬正仁訳　ちくま学芸文庫」

公式の紹介に入る前に一つだけ「絶対最小剰余」という概念を準備しておきます。任意の整数 $n$ は法 $p$ に関して $0,1,2,\ldots,p-1$ のいずれかに合同になります。これを「最小非負剰余」といいます。ここで $0,1,2\ldots,p-1$ をスライドさせると、任意の整数 $n$ は $- \frac{p}{2}$ から $\frac{p}{2}$ までのいずれかの数に合同にできます。例えば法を $5$ として考えると、任意の整数は $-2,-1,0,1,2$ のいずれかに合同になります。これを「絶対最小剰余」といいます。

さて、本題に戻りましょう。 $p = a ^ 2 + b ^ 2$ の $a,b$ を具体的に求める公式は以下のようになります。

$q = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots \frac{1}{4}(p-1)$ 、 $r = \frac{1}{4}(p+3) \cdot \frac{1}{4} ( p + 7) \cdots \frac{1}{2}(p-1)$ とします。そして

$a \equiv \frac{r}{2q} \pmod{p}$

$b \equiv \frac{r ^ 2}{2} \pmod{p}$

とします。ここで分母は法 $p$ に関する逆元をかけることを意味し、 $a,b$ は法 $p$ に関しての絶対最小剰余とします。このとき

$p = a ^ 2 + b ^2$

となります。

具体的な値で計算してみましょう。 $p = 13$ とします。このとき

$q = 1\cdot 2 \cdot 3 \equiv 6 \pmod{p}$

$r = 4 \cdot 5 \cdot 6 \equiv 3 \pmod{p}$

となり

$a = \frac{r}{2q} \equiv 3 \cdot -1 \equiv -3 \pmod{p}$

$b = \frac{r ^ 2}{2} \equiv 9 \cdot -6 \equiv -2 \pmod{p}$

となり無事に $13 = 3 ^ 2 + 2 ^ 2$ が得られました。ぜひ他の素数でもやってみてください。

このブログでは自分が面白いと思った定理などを書きとどめていく予定です。