ウィルソンの定理の再解釈

$p$ を奇素数とします.このときウィルソンの定理
$(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$
が成り立ちます.これを今日は新しい視点で見ていきます.

$\sum_{X = 0}^{p-1} X^k$ は $k$ が $p-1$ の倍数のとき $\equiv -1 \pmod{p}$ ,そうでないとき $\equiv 0 \pmod{p}$ となります.ここで多項式
$(X-1)(X-2) \cdots (X-(p-1))$
を考えましょう.

これを展開すると $p-1$ 次の多項式になります.ここで展開した $X$ に $0,1,\ldots,p-1$ を代入していき,総和を取れば上で述べたことから,法 $p$ で考えると,生き残るのは $X^{p-1}$ の項のみになり,それは $-1$ になります.

一方展開する前の多項式に $0,1,\ldots,p-1$ を代入すれば, $X = 0$ のときのみ $0$ でない値を取ることが分かります. $p$ が奇素数のとき,これは $(p-1)!$ になります.従って $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$ になります.

名前のない定理